Точные науки, и математика в частности, — это не просто абстрактные знания. Они находят практическое применение в самых обычных делах, например, в строительстве. В этой статье мы с помощью геометрии и математического анализа решим насущный вопрос: как выпилить из круглого бревна балку, которая будет обладать наибольшей прочностью и сможет выдержать максимальную нагрузку.
Математика не зря считается царицей наук. Она позволяет не только теоретизировать, но и находить точные, проверенные решения для инженерных задач, в том числе и для определения идеальных пропорций строительных элементов.
Балка — ключевой несущий элемент любой конструкции. Её способность противостоять изгибу и нагрузкам напрямую определяется формой поперечного сечения. Из курса физики и сопротивления материалов известно, что прочность прямоугольной балки пропорциональна произведению её ширины на квадрат высоты, что выражается формулой: P = k * a * h², где:
- k — коэффициент, зависящий от длины балки и свойств материала (дерева, металла и т.д.);
- a — ширина балки;
- h — высота балки.
Таким образом, задача формулируется так: имеется бревно радиусом R. Каковы должны быть ширина (a) и высота (h) прямоугольного бруса, выпиленного из этого бревна, чтобы значение a * h² (а с ним и прочность) было максимальным?
Далее последуют расчеты с использованием школьного курса алгебры и начал анализа. Для кого-то они могут показаться сложными, так как эти методы редко используются в повседневной жизни.
Обратите внимание: Что нужно, чтобы завести свое крестьянское хозяйство.
Если вы не хотите погружаться в детали вычислений, можете сразу перейти к разделу «ИТОГИ», где представлен готовый и понятный результат.Математический расчет оптимального сечения
Поскольку бревна бывают разного диаметра, мы найдем не только конкретные размеры, но и универсальное соотношение сторон, применимое к любому кругляку.
На рисунке выше круг (сечение бревна) вписан в воображаемый квадрат. Ширина будущей балки X. Высоту балки h можно найти из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора, где гипотенуза — это диаметр бревна (2R):
h = √((2R)² - X²) = √(4R² - X²).
Подставляем это выражение для высоты в формулу прочности, опуская постоянный коэффициент k (он не влияет на поиск максимума):
P(X) = X * (√(4R² - X²))² = X * (4R² - X²) = 4R²X - X³.
Мы получили функцию прочности P(X), которая зависит только от ширины балки X. Её график имеет характерный "горб" — максимум. Чтобы найти точку этого максимума (оптимальную ширину Xmax), необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю. Это стандартный метод поиска экстремумов.
Производная функции P'(X) = 4R² - 3X².
Приравниваем её к нулю и решаем уравнение:
4R² - 3X² = 0 => X² = (4R²)/3 => X = 2R / √3.
Отрицательный корень отбрасываем, так как ширина — величина положительная. Приведем выражение к более удобному виду: Xmax = (2R√3) / 3.
Теперь, зная оптимальную ширину, найдем соответствующую ей высоту, подставив Xmax в формулу, выведенную из теоремы Пифагора:
h = √(4R² - X²) = √(4R² - (4R²/3)) = √(8R²/3) = (2R√6) / 3.
Итоги: практические результаты расчета
Итак, математика дала нам точный ответ. Для бревна радиусом R балка максимальной прочности будет иметь:
- Ширину (a): (2R√3) / 3
- Высоту (h): (2R√6) / 3
Измерив диаметр конкретного бревна (D = 2R), вы легко рассчитаете по этим формулам идеальные размеры бруса.
Но самое главное — найдем универсальное соотношение высоты к ширине, которое не зависит от размера бревна:
h / a = ((2R√6)/3) / ((2R√3)/3) = √(6/3) = √2 ≈ 1.414.
Это число очень близко к простой дроби 7/5 = 1.4. Таким образом, можно сформулировать простое практическое правило:
ОПТИМАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ВЫСОТЫ К ШИРИНЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ БАЛКИ, ВЫПИЛЕННОЙ ИЗ ЦЕЛЬНОГО БРЕВНА, СОСТАВЛЯЕТ ПРИМЕРНО 7:5. То есть, если ширина балки 5 условных частей, то её высота должна быть около 7 таких же частей. Именно такая балка будет самой прочной из возможных для данного диаметра бревна.
Надеемся, этот расчет был полезен и интересен. Спасибо за внимание!
Больше здесь: Строим.
Источник статьи: Балку с какими размерами нужно выпилить из бревна (кругляка), чтобы она имела максимальную прочность?.